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准备开始

本节是对《算法图解》第六章的拓展，算法图解对广度优先搜索的解释非常清晰，我几乎无处插嘴。偶然看到知乎老钱提到字节跳动的面试题，顺手解决一下。

水壶问题

这个问题是这样的：

给你一个装满水的 8 升满壶和两个分别是 5 升、3 升的空壶，请想个优雅的办法，使得其中一个水壶恰好装 4 升水，每一步的操作只能是倒空或倒满。

（图非常简单，直接引用了老钱的图）

初始条件是一个满 8L 的水壶，还有两个空的 5L 和 3L 的水壶。这样的问题在小学的时候没少算，我们需要做的就是：

• 先这样
• 再这样
• 最后这样

凭借聪明的大脑，很容易就能 “凑出” 答案。为什么说是 “凑出” 呢？因为这个问题有更科学、优雅的解决方案：广度优先遍历。

一图足矣

如果我们讲这个问题转换为数学模型，用 (8,0,0) 这样的元组表示 3 个水桶内的水量。其实这道题的答案就藏在这样的图里，说藏可能都有点过分了，因为太明显。

我已经将合理的节点用橙色标出，从它就可以确认一条路径，你找到答案了。

图中每一个子节点都是对上一层级的状态，做一次操作更新得到的：

• 从一个壶里向另一个壶注水
• 直到这个壶的水注完，或者另一个壶注满。

这张图相当于从(8,0,0) 开始，推演其后所有可能状态及其路径，是不是有点像《算法图解》里提到的路径规划问题，这里是寻找从(8,0,0)到下面任意一个状态的转换路径：

• (4, , )
• (, 4, )
• (, , 4)

(星号表示不关心这里的数据)

有朋友就会很好奇，明明 (5,3,0) 的下一个转换可能是（5,0,3），为什么图里没有画呢？确实，但是 (5,0,3) 已经在之前出现过了，如果这样做了，就会出现“回头路”，形成循环，永远也不会找到答案了。

或者说，这样做是为了使得问题 “收敛”，不至于无限制发散。

计算新状态的时候，丢弃已经出现过的状态称之为“剪枝”。

广度优先和深度优先

以简单一些的二叉树来说明。

广度优先遍历： ABCDEFG... 广度优先遍历需要按照层次遍历，遍历完一层所有节点才继续深入下一层。

深度优先遍历： ABDEICF... 深度优先会直接遍历，探到树的末梢。

对于水桶问题的路径，我们需要找到尽量快的方法得到 4L 水，对于一个路径，每深入一层就是一个步骤。另一方面，出于剪枝的要求，先出现的路径会占据优势，后出现的路径会被淘汰。因此我们需要选用广度优先的遍历方法，在同一层内尽可能寻找答案，不得已的时候，再下探一层，这样可以得到尽可能短的路径。

水桶的实现

这里的水桶本身有约束条件：

• 只能倒空
• 或者倒满

因此我实现了一个水杯类，使用 fillup 或者 fill 方法向水桶注入水，以便作为初始条件。

一个特别注意的点，水杯类也允许从一个桶里向另一个桶倒水，只要 fill 的参数是水源的桶就行。

剪枝

剪枝保证了结果的收敛，每当推演出一个状态，就需要检查这个状态是否已经出现过，如果出现过就需要丢弃。这里使用 python 自带的 set —— 集合。集合是无序元素的组合，可以快速的增删成员、判断成员，用在这里正合适。

初始化状态

• 在 cup_map 中保存了每一步所有可能的出水和入水桶索引。
• cups 中初始化了 3 个容量分别为 8、5、3 的桶。
• result_set 记录已经出现过的状态，(8,0,0) 表示最开始第一个桶里有 8L 水，以后当然也不能出现这种情况了。

代码在这里：

广度遍历

为了一层一层遍历路径，这里使用 End_point 表示路径中的一个节点，每个节点记录了从初始状态 (8,0,0) 到当前状态的路径，以及该节点所有水桶的状态。多个 End_point 构成的数组，表示一个遍历层。当遍历到某一层没有数据了，就可以结束遍历了。

注意这里使用了递归：

• 如果当前层没有节点，退出。
• 遍历当前层
• 再遍历下一层

最后的结果

$ python water_cup.py 
cup size:
8
5
3
('ok path:', [(8, 0, 0), (3, 5, 0), (3, 2, 3), (6, 2, 0), (6, 0, 2), (1, 5, 2), (1, 4, 3)])
('ok path:', [(8, 0, 0), (5, 0, 3), (5, 3, 0), (2, 3, 3), (2, 5, 1), (7, 0, 1), (7, 1, 0), (4, 1, 3)])

看来最开始我绘制的路线图不完整，有两条合理的结果。这也许就是算法和计算机超越人脑的地方吧。

完整的代码在这里。